Inventur

Mathematische Ausbildung für Studiengänge am D-BIOL, D-CHAB, D-EAPS, D-HEST und D-USYS

A. Caspar

Ziel

Die anstehenden Revisionen geben Anlass für eine Inventur. Diese erfolgt exemplarisch für die Studiengänge rund um Life Sciences und zu den zentralen Themen Differentialgleichungen, Lineare Algebra und Vektoranalysis, unter Berücksichtigung von Kompetenzen in den Dimensionen „Rechnen können – Verstehen – Anwenden“. Die dargestellten Kompetenzbereiche sind als ein kohärentes (aber nicht erschöpfendes) Gesamtbild für eine mathematische Grundbildung in den Life Sciences zu verstehen. Zwischen den Kapiteln bestehen inhaltliche und methodische Verbindungen (siehe unten). Darüber hinaus sind Computational Competences über alle Themen hinweg integriert. Weitere Vertiefungen (z.B. ab dem zweiten Studienjahr zu PDE, Statistik, numerische Methoden) können aufbauend auf diesen Basiskompetenzen erfolgen.

Einordnung

Der vorliegende Katalog wurde bisher nicht breit mit Mathematikdozierenden diskutiert oder gar abschliessend geklärt. Er versucht zu verstehen, welche Themen im Basisjahr zentral bleiben und welche auch als optional angesehen werden können. Die jeweiligen Bereiche 2. Verstehen (konzeptuelle Kompetenz) und 3. Anwenden (Modellierungs- und Transferkompetenz) dienen dabei als Orientierung für die Anwendungsmodule.

Differentialgleichungen (DGL)

Relevanz. DGL sind grundlegende Werkzeuge zur Beschreibung dynamischer Prozesse in den Life Sciences: bei der Modellierung von Wachstumsprozessen (1. Ordnung), periodischen Populationsdynamiken sowie pharmakokinetischen Prozessen (2. Ordnung und lineare DGL-Systeme).

1. Rechnen können (prozedurale Kompetenz)

Bereich	Studierende können …
Erste Ordnung	lineare DGLn mit konstanten Koeffizienten $y' = a y + b$ und weiter durch Trennung der Variablen einfache DGL (z.B. logistische Gleichung $y' = y(1-y)$) lösen.
Zweite Ordnung	DGLn $y'' + a y' + b y = 0$ (homogen linear mit konstanten Koeffizienten) lösen und den Zusammenhang zwischen charakteristischer Gleichung, Eigenwerten und dem Verhalten der Lösung (reell/komplex, gedämpft/oszillatorisch) nachvollziehen.
Lineare Systeme	Allgemeine $n \times n$-Systeme $y' = A y$ im Fall einer Eigenbasis lösen und für $n = 2$ den Fall ohne Eigenbasis auf eine DGL 2. Ordnung zurückführen.
Grundoperationen	Ableitungen und Integrale zur Überprüfung und Interpretation von Lösungen korrekt ausführen.

2. Verstehen (konzeptuelle Kompetenz)

Bereich	Studierende verfügen über Verständnis für …
Allgemeines Lösungsverhalten	den Zusammenhang zwischen der Struktur von $F(y)$ und den Eigenschaften der Lösung $y$ (Monotonie, Wendepunkte, stationäre Lösungen) in der DGL $y' = F(y)$.
Stabilität und Linearisierung	stationäre Lösungen und deren lokale Stabilität mit Linearisierung $y' = F(y) \approx F'(y_\infty)(y - y_\infty)$ und die Bedeutung des Vorzeichens von $F'(y_\infty)$.
Geometrische Interpretation	die Darstellung von Lösungen als Kurven, die Interpretation von Richtungsfeldern sowie den Zusammenhang zwischen dem Lösungsverhalten bei $2\times2$-Systemen $y' = Ay$ und Spur / Determinante von $A$.
Parameterinterpretation	den Einfluss von Modellparametern (z.B. Wachstumsrate, Dämpfung) auf das qualitative Verhalten (exponentiell, oszillatorisch, stabil/instabil) sowie des Startwertes $y(0) = y_{0}$.

3. Anwenden (Modellierungs- und Transferkompetenz)

Bereich	Studierende können …
Modellbildung	biologische und chemische Prozesse (z.B. Populationswachstum, Stoffwechselraten, Pharmakokinetik) mit einfachen DGLn modellieren und Annahmen sowie Grenzen solcher Modelle reflektieren.
Interpretation	die Bedeutung mathematischer Lösungen im Anwendungskontext erklären (z.B. Gleichgewicht, Attraktivität, Halbwertszeit, Sättigung).
Datenbezug	Modellparameter aus experimentellen oder simulierten Daten bestimmen (z.B. Wachstumsrate aus Messreihen).
Softwareeinsatz	graphische und numerische Verfahren (z.B. mit Python) zur Simulation und Visualisierung einfacher DGLn einsetzen.

4. Voraussetzungen und Schnittstellen

Bereich	Nötiges Vorwissen / Querverbindungen
Analysis	Begriff von Ableitung und Integral als Änderungsrate bzw. kumulative Grösse; Darstellung einer Lösung als Kurve.
Lineare Algebra	Verständnis von linearer Unabhängigkeit, Eigenwerten und Eigenvektoren.
Modellverständnis	Fähigkeit, Variablen, Parameter und Einheiten zu identifizieren und inhaltlich zu interpretieren.

5. Optionale Erweiterungen

Inhomogene lineare DGLn (z.B. $y' = a y + f(t)$), Variation der Konstanten.
Nichtlineare Systeme in der Ebene (phasendiagrammatische Analyse).
Einführung numerischer Verfahren (Euler, Runge–Kutta) zur Simulation biologischer Prozesse.

Lineare Algebra

Relevanz. Lineare Algebra braucht es für mehrdimensionale Phänomene. Sie bildet die Grundlage für die Beschreibung und Analyse diskreter dynamischer Systeme, wie sie in Populationsmodellen, Stoffwechselnetzwerken oder bei der Analyse von Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Subpopulationen auftreten. Ein typisches Anwendungsbeispiel ist das diskrete Entwicklungsmodell $v_{n+1} = A v_n$ mit $v_n \in \mathbb{R}^m$. Die Kompetenzen zielen auf das Verständnis solcher Modelle, ihrer Stabilität und der zugrunde liegenden linearen Strukturen.

1. Rechnen können (prozedurale Kompetenz)

Bereich	Studierende können …
Matrizenoperationen	Matrizenprodukte und Potenzen berechnen, insbesondere zur Bestimmung von $v_n = A^n v_0$ in diskreten Modellen. Sie können die Inverse einer Matrix berechnen (soweit für Anwendungen nötig) und die Bedeutung für die Eindeutigkeit von Lösungen verstehen.
Lineare Gleichungssysteme	LGS interpretieren und in kompakter Form $A x = b$ darstellen sowie in einfachen Fällen lösen (z.B. Gauss-Elimination).
Eigenwerte, Eigenvektoren	Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen, um z.B. Stabilität und Langzeitverhalten eines Modells zu analysieren.
Komplexe Zahlen	Grundlegende Arithmetik komplexer Zahlen ausführen und geometrische Zusammenhänge verstehen, z.B. bei komplexen EW.

2. Verstehen (konzeptuelle Kompetenz)

Bereich	Studierende verfügen über Verständnis für …
Lineare Abbildungen	den Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen (z.B. Drehung, Spiegelung, Projektion).
Linearkombinationen und Unabhängigkeit	die Bedeutung linearer Unabhängigkeit, Basis und Dimension im Zusammenhang mit der Lösbarkeit von Gleichungssystemen und in den Anwendungen bei diskreten Modellen (z.B. Darstellung eines Startvektors).
Eigenwertproblem	die Anwendung und anschauliche Interpretation der Charakterisierung $A v = \lambda v$.
Determinante	die Determinante als Kriterium für die Existenz einer Inversen verstehen, ohne allgemeine vertiefende Berechnung im Detail.
Stabilität	den Zusammenhang zwischen Eigenwerten und Stabilität im diskreten Modell ($\|\lambda\| < 1 \leadsto$ stabil) erkennen.

3. Anwenden (Modellierungs- und Transferkompetenz)

Bereich	Studierende können …
Diskrete Modelle	dynamische Prozesse mit rekursiven Gleichungen $v_{n+1} = A v_n$ formulieren und interpretieren.
Langzeitverhalten	das asymptotische Verhalten von Populationen oder Zustandsgrössen aus Eigenwerten/Eigenvektoren ableiten.
Stabilitätsanalyse	Matrizen nach ihrem Spektrum klassifizieren (stabil/instabil, oszillierend) und die biologische Bedeutung interpretieren.
Datenbezug	aus experimentellen Daten lineare Modelle aufstellen oder Parameter (z.B. Übergangswahrscheinlichkeiten) schätzen.
Softwareeinsatz	numerische und symbolische Werkzeuge (z.B. Python) für Matrizenoperationen und Eigenwertanalysen nutzen.

4. Voraussetzungen und Schnittstellen

Bereich	Nötiges Vorwissen / Querverbindungen
Analysis	Grundverständnis diskreter und stetiger Wachstumsprozesse; Kenntnis einfacher rekursiver Folgen.
Komplexe Zahlen	Arithmetik und geometrische Interpretation.

5. Optionale Erweiterungen

Vollständige Verfahren zur Eigenwertberechnung (Determinante, charakteristisches Polynom).
Diagonalisierbarkeit vs. Jordan-Normalform. Einführung des Matrixexponentials $e^{At}$ als Lösungsmethode für DGL-Systeme.

Vektoranalysis

Relevanz. Vektoranalysis liefert das begriffliche und rechnerische Fundament für die Beschreibung von Strömungen, Flüssen, Gradienten und Potentialen in den Life Sciences. Sie ist als Vorbereitung für partielle Differentialgleichungen (PDE) von Bedeutung, z.B. bei der Modellierung von Diffusion, Transport oder Gradienten-gesteuerten Prozessen.

1. Rechnen können (prozedurale Kompetenz)

Bereich	Studierende können …
Kurvenintegrale	für skalare Funktionen das Integral $\displaystyle \int_\gamma f\,ds$ berechnen.
Vektor- und Gradientenfelder	Gradienten $\nabla f$ und Richtungsableitungen bestimmen; konservative Felder erkennen und Potentialfunktionen finden.
2-dimensionale Linearisierung	die lokale Linearisierung nichtlinearer Systeme $y' = F(y)$ in der Ebene um stationäre Punkte $y_\infty$ durchführen (Taylor).
Arbeitsintegrale	Arbeitsintegrale $\displaystyle \int_\gamma K\cdot d\gamma$ berechnen.
Sätze von Green und Gauss	den ebenen Sätze von Green und Gauss und den räumlichen Satz von Gauss in Standardfällen anwenden, insbesondere zur Berechnung von Quellen- oder Flussbilanzgrössen.

2. Verstehen (konzeptuelle Kompetenz)

Bereich	Studierende verfügen über Verständnis für …
Vektorfelder und Flüsse	den geometrischen Zusammenhang zwischen Feld, Stromlinien und Fluss interpretieren.
Gradient und Potential	Gradient als Richtung des stärksten Anstiegs und Zusammenhang $\nabla f \leftrightarrow$ konservatives Feld.
Potentialtheorie	Wegunabhängigkeit des Integrals konservativer Felder und $\displaystyle \int_{\gamma} \nabla f \cdot d\gamma = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a))$ mit dem Hauptsatz.
Green- und Gauss-Sätze	die Flussbilanzinterpretation verstehen: „Summe der Quellen im Gebiet = Fluss durch den Rand“.
Lokale Approximationen	Tangentialebenen, zweidimensionale Taylorentwicklung und lineare Näherung für die Beschreibung lokaler Verhaltensänderungen.

3. Anwenden (Modellierungs- und Transferkompetenz)

Bereich	Studierende können …
Fluss- und Transportmodelle	physiologisch oder chemisch motivierte Flüsse (z.B. Diffusion, Strömung, elektrische Potentiale) als Vektorfelder modellieren und interpretieren.
Bilanzprinzipien	Integralsätze (Green, Gauss) zur Beschreibung von Erhaltung oder Bilanz zwischen Quelle, Senke und Fluss anwenden.
Potentialanalyse	Potentiale rekonstruieren und den Zusammenhang zu Energie- oder Konzentrationslandschaften herstellen.
Softwareeinsatz	numerische und visuelle Umsetzung (z.B. mit Python) zur Visualisierung von Feldern, Richtungen und Flüssen einsetzen.

4. Voraussetzungen und Schnittstellen

Bereich	Nötiges Vorwissen / Querverbindungen
Mehrdimensionale Analysis	Begriff von partiellen Ableitungen, Differenzierbarkeit, Gradienten und Extrema. Kenntnisse von Gebiets- und Volumenintegralen.
Lineare Algebra	Grundlagen zu Vektorräumen, Skalarprodukt etc.
Differentialgleichungen	Bezug zwischen Feldlinien konservativer Felder und Trajektorien von DGL-Systemen.

5. Optionale Erweiterungen

Vertiefte Behandlung von Divergenz und Rotation im Raum. Satz von Stokes (Rotation und Zirkulation). Übergang von lokalen Feldgleichungen zu Differentialgleichungen (z.B. $\text{div}(K)=0$).
Einführung in PDEs aus Erhaltungsprinzipien (z.B. Diffusionsgleichung).
Numerische Flussapproximationen und Simulationen.

Weitere Grundlagen

Grundlagen der Analysis (eine Variable)

Relevanz. Die grundlegenden Konzepte der Analysis in einer Variablen sind zentral für das Verständnis kontinuierlicher Entwicklungen, Änderungsraten und Bilanzprinzipien in den Life Sciences. Sie bilden die Basis für Differentialgleichungen, Integralrechnung und die mathematische Modellierung von Wachstums-, Fluss- und Gleichgewichtsprozessen. Auch periodische und rekursive Strukturen (z.B. Fixpunkte, Schwingungen) sind für das Verständnis dynamischer Systeme wesentlich.

Der Grossteil sollte aus der Schule bekannt sein.

Prozedurale Kompetenzen (Rechnen können)

Studierende können

Funktionen $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ darstellen, zusammensetzen und Umkehrfunktionen bestimmen;
Grenzwerte und Stetigkeit einfacher Funktionen bestimmen;
Ableitungen mit Standardregeln (Produkt-, Ketten-, Quotientenregel) berechnen;
Monotonie, Krümmung und Extrema analysieren;
Tangenten und Näherungen bestimmen;
Integrale bilden, Stammfunktionen finden und den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden, auch für uneigentliche Integrale;
Integrationsverfahren (Substitution, partielle Integration, PBZ) auf Standardbeispiele anwenden;
Fixpunkte von Iterationen bestimmen und deren Stabilität qualitativ einschätzen.

Konzeptuelle Kompetenzen (Verstehen)

Studierende verstehen

den Begriff der Funktion als Abbildung zwischen Grössen und als Modell für Zusammenhänge;
periodische Funktionen und deren Konstruktion;
den Grenzwert als Beschreibung des lokalen Verhaltens und Stetigkeit als kontinuierliche Veränderung;
die Ableitung als Änderungsgeschwindigkeit und das Integral als Mass für kumulative Grössen (z.B. Stoffmenge, Energie);
die Linearisierung durch die Tangente als lineare Approximation und weitere Approximation durch Taylor;
den Zusammenhang zwischen Vorzeichen von $f'$ und Monotonie sowie zwischen $f''$ und Krümmung;
die Beziehung zwischen Ableitung und Integral (Hauptsatz);
die qualitative Bedeutung von Periodizität und Stabilität für dynamische Systeme.

Anwendungskompetenzen (Transfer und Modellierung)

Studierende können

natürliche Prozesse (z.B. Enzymkinetik, Populationswachstum, Stoffbilanz) funktional modellieren;
Änderungsraten und Integrale im Kontext realer Systeme interpretieren (Rate vs. Akkumulation);
periodische Vorgänge (z.B. Herzrhythmus, circadiane Zyklen) mathematisch beschreiben;
einfache iterative Prozesse simulieren und das qualitative Verhalten (Konvergenz, Stabilität) analysieren.

Komplexe Zahlen

Relevanz. Komplexe Zahlen ermöglichen eine einheitliche Beschreibung von Schwingungen, Rotationen und linearen Systemen mit oszillatorischem Verhalten. Sie verbinden geometrische, algebraische und analytische Sichtweisen und sind für viele mathematische Modelle der Life Sciences (z.B. periodische Prozesse, Stabilitätsanalysen) unverzichtbar.

Prozedurale Kompetenzen (Rechnen können)

Studierende können

komplexe Zahlen in kartesischer Form $z = a + ib$ und Polarform $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ darstellen und zwischen beiden Formen umrechnen;
mit komplexen Zahlen rechnen (Addition, Multiplikation, Division, Konjugation);
die Eulerformel $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi$ anwenden und die Exponentialform $z = r e^{i\varphi}$ nutzen;
Potenzen und $n$-te Wurzeln berechnen und geometrisch interpretieren (z.B. Einheitswurzeln);
komplexe Eigenwerte und -vektoren zur Lösung linearer Systeme und DGLs verwenden.

Konzeptuelle Kompetenzen (Verstehen)

Studierende verstehen

die Notwendigkeit der Einführung komplexer Zahlen als Erweiterung des Zahlbereichs;
die geometrische Interpretation komplexer Zahlen als Punkte mit Betrag und Argument;
Multiplikation als Drehstreckung;
den Zusammenhang zwischen Eulerformel, trigonometrischen Funktionen und Schwingungen;
die Rolle komplexer EW bei oszillatorischem oder gedämpftem Verhalten in dynamischen Systemen.

Anwendungskompetenzen (Transfer und Modellierung)

Studierende können

komplexe Zahlen zur Beschreibung von Schwingungen, Wellen und periodischen Prozessen einsetzen;
mithilfe komplexer Eigenwerte die Stabilität und Dynamik linearer Systeme beurteilen (z.B. spiralförmige Trajektorien);
Operationen und Darstellungen komplexer Zahlen graphisch visualisieren.

Mehrdimensionale Analysis

Relevanz. Die mehrdimensionale Analysis erweitert die Konzepte der Differential- und Integralrechnung aus der Schule auf Funktionen mehrerer Variablen. In den Life Sciences werden viele Grössen wie Konzentration, Temperatur, Dichte oder Energie durch ortsabhängige Felder beschrieben. Das Verständnis von partiellen Ableitungen, Gradienten, Extremwerten und Integralen über Gebiete ist zentral für die Analyse solcher Systeme und bildet die Grundlage für Vektoranalysis und partielle Differentialgleichungen.

Prozedurale Kompetenzen (Rechnen können)

Studierende können

Funktionen $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ und $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ graphisch und über Niveaukurven darstellen;
partielle Ableitungen berechnen; den Gradienten und Richtungsableitungen bestimmen und interpretieren;
Tangentialebenen und lineare Approximationen (Taylor) formulieren;
Extrema mit Hilfe des Gradienten und der Hesse-Matrix identifizieren;
Kettenregel und implizite Differentiation auf mehrdimensionale Funktionen anwenden;
Doppel- und Volumenintegrale berechnen sowie Koordinatenwechsel (z.B. Polarkoordinaten) durchführen.

Konzeptuelle Kompetenzen (Verstehen)

Studierende verstehen

den Unterschied zwischen skalaren und vektoriellen Funktionen und die Bedeutung von Niveaukurven bzw. -flächen;
den Gradienten als Richtung des stärksten Anstiegs und seine geometrische Deutung;
die Kettenregel als Ausdruck von Abhängigkeiten zwischen Variablen;
den Zusammenhang zwischen verschwindendem Gradienten, Krümmung und Extremwerten;
das Doppelintegral als aufsummierte Grösse über ein Gebiet (z.B. Masse, Energie, Flussmenge);
den Nutzen von Koordinatentransformationen zur Vereinfachung von Integralen.

Anwendungskompetenzen (Transfer und Modellierung)

Studierende können

Temperatur-, Konzentrations- oder Dichteverteilungen als skalare Felder modellieren und deren Gradienten interpretieren;
die lineare Approximation zur Analyse lokaler Veränderungen verwenden;
Optimierungsprobleme mit zwei oder mehr Variablen formulieren und lösen (z.B. Reaktionsraten, Energieverbrauch);
Gebiets- und Volumenintegrale nutzen, um Gesamtmengen (Masse, Energie, Stoffmenge) zu bestimmen.

Optionale Erweiterungen

Dreifachintegrale und Integrale über allgemeine Gebiete;
Flächenintegrale und Parameterdarstellungen;
Lagrange-Multiplikatoren für Optimierung mit Nebenbedingungen.

Computational Competences

Relevanz. Rechnergestützte Methoden sind ein integraler Bestandteil mathematischer Arbeit in den Life Sciences. Sie unterstützen das Verständnis von Konzepten, die Umsetzung numerischer Verfahren und die Exploration von Modellen. Jupyter-Notebooks bieten eine Umgebung, um mathematische Notation, Programmcode und Interpretation in einem kohärenten Rahmen zu verbinden. Ziel ist die Fähigkeit, mathematische Modelle zu formulieren, numerisch zu untersuchen, zu visualisieren und kritisch zu interpretieren.

Jupyter-Notebooks bieten

einen gemeinsamen Arbeitsraum für Theorie, Code und Reflexion;
eine Integration in Übungen, Praktika und Projekte, dabei nicht als Zusatz, sondern als Teil der Lehre;
die Förderung von Explorativität und „Computational Thinking“;
die Möglichkeit, Aufgaben besser, schneller oder überhaupt zu bearbeiten und deren mathematischen Gehalt nachhaltiger zu verstehen. Lösungen per Hand sind teilweise auch möglich, aber deutlich aufwändiger.

In einer Mathematikveranstaltung wird nicht erwartet (aber begrüsst), Code selber zu schreiben. Im Mittelpunkt steht eine Anwendung des Codes in einem anderen Kontext.

Konzeptuelle Kompetenzen (Verstehen und Interpretieren)

Zusammenhang zwischen exakten und numerischen Lösungen verstehen und Grenzen erkennen;
den Bezug zwischen Modell, Simulation und empirischen Daten reflektieren;
Parameter identifizieren und mit neuen Zahlen (in einer Matrix, als einen Startwert) manipulieren;
reproduzierbare wissenschaftliche Arbeitsweise (Computational Notebook) anwenden;
Visualisierung als Werkzeug der Erkenntnis und Hypothesenbildung einsetzen.

Anwendungskompetenzen (Transfer und Integration)

mathematische Modelle in Notebooks implementieren und interaktiv untersuchen;
Ergebnisse in wissenschaftlich angemessener Form kommunizieren (Text, Code, graphisch);
programmatische Zugänge zur Mathematik benennen und verknüpfen.